الجبر الخطي الأمثلة

$T ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - b + 5 d \\ - 4 a + 2 b - 10 d \end{array}]$

خطوة 1

يحدد التحويل خريطة من $ℝ^{3}$ إلى $ℝ^{2}$ . ولإثبات أن التحويل خطي، يجب أن يحافظ التحويل على ضرب الكميات العددية وجمع المتجهات والمتجه الصفري.

T: $ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

خطوة 2

أولاً، اثبت أن التحويل يحافظ على هذه الخاصية.

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

خطوة 3

أنشئ مصفوفتين للتأكد مما إذا كانت خاصية الجمع محفوظة لـ $T$ .

$T ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

خطوة 4

أضف المصفوفتين.

$T [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 5

طبّق التحويل على المتجه.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

خطوة 6

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد ترتيب $2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})$ .

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $- 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3})$ .

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

خطوة 7

قسّم النتيجة إلى مصفوفتين بتجميع المتغيرات.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

خطوة 8

خاصية الجمع للتحويل تنطبق.

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

خطوة 9

لكي يكون التحويل خطيًا، يجب أن يحافظ على ضرب الكمية العددية.

$T (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}])$

خطوة 10

حلّل $p$ إلى عوامل من كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $p$ في كل عنصر في المصفوفة.

$T (p x) = T ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p d \end{array}])$

خطوة 10.2

طبّق التحويل على المتجه.

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - (p b) + 5 (p d)) \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

خطوة 10.3

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أعِد ترتيب $2 ((p a) - (p b) + 5 (p d))$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

خطوة 10.3.2

أعِد ترتيب $- 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d))$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

خطوة 10.4

حلّل كل عنصر من عناصر المصفوفة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

حلّل العنصر $0, 0$ إلى عوامل بضرب $2 a p - 2 b p + 10 d p$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

خطوة 10.4.2

حلّل العنصر $1, 0$ إلى عوامل بضرب $- 4 a p - 8 b p + 40 d p$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ p (- 4 a - 8 b + 40 d) \end{array}]$

خطوة 11

الخاصية الثانية للتحويلات الخطية محفوظة في هذا التحويل.

$T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = p T (x)$

خطوة 12

لكي يكون التحويل خطيًا، يجب الحفاظ على المتجه الصفري.

$T (0) = 0$

خطوة 13

طبّق التحويل على المتجه.

$T (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - (0) + 5 (0) \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 14

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أعِد ترتيب $2 (0) - (0) + 5 (0)$ .

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 14.2

أعِد ترتيب $- 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0$ .

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 15

التحويل يحافظ على المتجه الصفري.

$T (0) = 0$

خطوة 16

نظرًا إلى عدم استيفائه جميع الخصائص الثلاثة للتحويلات الخطية، إذن هذا ليس تحويلاً خطيًا.

التحويل الخطي